Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+zx}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\). (1)

Theo bđt Bunhiakowski:

\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\).

Tương tự: \(\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\ge y+\sqrt{zx}\); \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\).

Cộng vế với vế và kết hợp với gt x + y + z = 1 ta có (1) đúng.

Vậy ta có đpcm.

\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)

Tương tự:

\(\sqrt{y+zx}\ge y+\sqrt{zx}\) ; \(\sqrt{z+xy}\ge z+\sqrt{xy}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge\left(x+y+z\right)+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=...\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

`x+y+z>=0` là chưa đủ phải là `x,y,z>=0` mới đúng.

`x+y+z>=sqrt{xy}+sqrt{yz}+sqrt{zx}`

`<=>2x+2y+2z>=2sqrt{xy}+2sqrt{yz}+2sqrt{zx}`

`<=>x-2sqrt{xy}+y+y-2sqrt{yz}+z+z-2sqrt{zx}+x>=0`

`<=>(sqrtx-sqrty)^2+(sqrty-sqrtz)^2+(sqrtz-sqrtx)^2>=0` luôn đúng

Dấu `"="<=>x=y=z`

Áp dụng bdt Co-si, ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{xz}\)

=> 2(x+y+z) \(\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

=> đpcm

Bài này phải tìm GTLN chứ nhỉ?!

Bình phương vế trái : \(\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)+2\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+2\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+2\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\)

Bình phương vế phải : \(\left(1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2=\left(xy+yz+zx+1\right)+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+x\sqrt{yz}\)Vì a+b+c = 1 nên suy ra : 

\(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\)

\(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+x\sqrt{yz}+z\sqrt{xy}+y\sqrt{xz}\) (*)

Mặt khác, áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có :

\(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{x.y}+\sqrt{yz.zx}=\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\)

Tương tự : \(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\) ; \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)

Cộng các bđt trên theo vế được (*) đúng

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

ta chứng minh \(\sqrt{x+yz}\ge x+\sqrt{yz}\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x+yz\ge x^2+2x\sqrt{yz}+yz\Leftrightarrow1\ge x+2\sqrt{yz}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge x+2\sqrt{yz}\Leftrightarrow y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\)do đó (1) đúng

tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{y}+\sqrt{xz}\ge y+\sqrt{xz}\left(2\right)\\\sqrt{z}+\sqrt{xy}\ge z+\sqrt{xy}\left(3\right)\end{cases}}\)

từ (1); (2) và (3) ta suy ra 

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{3}\)

Sử dụng Bunhiacopski: 

\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x^2+\sqrt{yz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y+zx}\ge y+\sqrt{zx};\sqrt{z+xy}\ge z+\sqrt{xy}\)

Khi đó:

\(LHS\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

Đặt \(A=\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)

Ta có:

\(x^2+xy+yz+zx=x+xyz=x\left(x+yz\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x\left(x+yz\right)}{x}=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}\)

\(\Leftrightarrow x+yz=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}=\frac{\left(x^2+xy\right)+\left(yz+zx\right)}{x}=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)

Vì x, y, z >0 nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 số dương, ta được:

\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{x^2}.+\sqrt{yz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\)

Do đó \(\sqrt{x+yz}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\sqrt{y+xz}\ge\frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}\left(2\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\sqrt{z+xy}\ge\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3), ta được:

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)\(\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}+\frac{y+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{yz+zx+xy}{\sqrt{xyz}}\)

 \(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xyz}{\sqrt{xyz}}\)(vì \(xy+yz+zx=xyz\))

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\xy+yz+zx=xyz\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=3\)

Vậy với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx =xyz thì:

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\).

\(\)

Quẩy lên các em êii

\(A=\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}\)

\(2A=\frac{z+2\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{x+2\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y+2\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}-\frac{y}{y+2\sqrt{zx}}\)

\(=3-\left(\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\right)\le3-\left(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\right)\)

\(=3-\frac{x+y+z}{x+y+z}=3-1=2\)\(\Leftrightarrow\)\(A\le\frac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)

...

Ta cần chứng minh:\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\)

Mặt khác, ta có:

\(\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(\left(x+y+xy\right)+\left(y+z+yz\right)+\left(z+x+zx\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+xy+yz+zx\right)\)Lại có:

\(xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+3\right)=27\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\le3\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

Do đó \(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).